Теория перестроек В.И. Арнольда
Управление без обратной связи всегда приводит к катастрофам: важно, чтобы лица и организации, принимающие ответственные решения, лично, материально зависели от последствий этих решений.
Агрессоры, развязывающие войны или межнациональную вражду, обычно считают, что они не будут нести личной ответственности за последствия, а боязнь личного ядерно-лагерного уничтожения служит важным сдерживающим фактором.
Учёные, исследовавшие модели гонки вооружений, ещё в 60-х годах предсказали, что введение разделяющихся боеголовок повлечёт потерю устойчивости стратегического равновесия.
Они предсказали также, что если дипломатическим путём удастся благополучно миновать этот опасный период, то дальнейшее удорожание вооружения стабилизирует ситуацию и устойчивость может восстановиться.
Нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения).
Трудность проблемы перестройки связана с её нелинейностью. Привычные методы управления, при которых результаты пропорциональны усилиям, тут не действуют, и нужно вырабатывать специфически нелинейную интуицию, основанную на порой, парадоксальных выводах нелинейной теории.
Математическая теория перестроек была создана задолго до перестройки Михаила Горбачева.
Вот некоторые простейшие качественные выводы из этой теории применительно к нелинейной системе, находящейся в установившемся устойчивом состоянии, признанном плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы.
1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.
2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению её состояния растёт.
3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояние продолжает ухудшаться.
4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает сопротивление, но система начинает притягиваться к лучшему состоянию.
5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение неспособна.
6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.
С этими объективными законами функционирования нелинейных систем нельзя не считаться. Выше сформулированы лишь простейшие качественные выводы.
Теория доставляет также количественные модели, но качественные выводы представляются более важными и, в то же время, более надёжными: они мало зависят от деталей функционирования системы, устройство которой, и ее численные параметры могут быть недостаточно известными.
Выдержка из книги: Арнольд В.И., Теория катастроф, М., «Наука», 1990 г., с. 98-102.
Внёс значительный вклад в множество разделов математики. Имя учёного — во многих названиях теории динамических систем: теорема Лиувилля–Арнольда, язык Арнольда, диффузия Арнольда, кошка Арнольда (она же — окрошка) и пр. Симплектическая топология возникла из гипотезы Арнольда о числе неподвижных точек симплектоморфизма, сформулированной в середине 1960-х годов. Современное возрождение вещественной алгебраической геометрии связано с работой Арнольда 1971 года о расположении овалов вещественной плоской алгебраической кривой.
Работа Арнольда 1968 года о когомологиях группы крашеных кос была одним из исходных пунктов современной теории конфигураций гиперплоскостей.
Исследования учёного по классификации критических точек функций привели, например, к созданию теории многогранников Ньютона. Странная двойственность Арнольда для 14 исключительных унимодальных особенностей — один из первых примеров явления зеркальной симметрии.
Работы математика широко известны и применяются в физике и механике. В последние годы жизни много занимался новыми для себя задачами комбинаторики, теории чисел и дискретной математики. Арнольду принадлежит значительное число новых наблюдений, открытий интересных закономерностей и гипотез в данной области.
Является соавтором теоремы Колмогорова — Арнольда — Мозера о стабильности интегрируемых гамильтоновых систем. Развивал математику (теория динамических систем, теория катастроф, топологию, алгебраическую геометрию), классическую механику и теорию сингулярностей.
Стал одним из инициаторов выделения симплектической геометрии как отдельной дисциплины.
Учёному приписывается авторство большого числа задач, например, задачи о мятом рубле...
Теория кос, основания которой были построены благодаря азарту и настойчивости немецкого алгебраиста Эмиля Артина в двадцатых годах прошлого столетия, является красивым синтезом геометрии, алгебры и алгоритмических методов. Первоначально косы были предложены Артином в качестве математической модели для текстильной промышленности, но приложения этой теории оказались весьма разнообразными.
Теперь они занимают важное место в комплексном анализе, комбинаторике, квантовой механике и квантовой теории поля. Одно из приложений теории кос — использование её в теории узлов.
Узлы появились в доисторические времена — вместе с первыми нитками и верёвками. Узлами пользовались первые мореплаватели и ткачи… Узлы — предметы простые и наглядные.
Развитие теории узлов инициировал великий английский физик Джеймс Клерк Максвелл. Он пришёл к выводу, что волны осуществляют электромагнитные взаимодействия.
А позже его осенила ещё более смелая мысль: сами взаимодействующие частицы – тоже волны; но так как размер атома мал по сравнению с длиной электромагнитной волны, какой ее представлял Максвелл, то волны-атомы должны замыкаться на себя на небольшом участке пространства.
Это узлы, в памяти которых хранится вся физико-химическая информация об атоме, закодированная в самом характере заузливания атома.
Максвелл и его ученики принялись за исследование узлов, начали систематическую классификацию узлов в виде таблиц.
Наилучшее применение теории узлов — выделение главных, по Колмогорову, параметров исследуемой системы.
Иначе говоря — превентивное исключение неизбежно возникающего неуправляемого хаоса в системе при добавлении лишних управляющих параметров управления…